Analyse et calcul matriciel

1. Généralités sur les séries numériques

• Suites numériques : rappels.
• Séries numériques : définitions et exemples (série géométrique),  convergence absolue,  critères de convergence pour séries à termes positifs (règle de D'Alembert, règle de Cauchy, etc.), critères de convergence pour les séries à termes quelconques (séries alternées, Règle d'Abel, etc.).

2. Suites et séries de fonctions

• Suites de fonctions: convergence ponctuelle, convergences uniforme
• Séries de fonctions: les différents types de convergence (ponctuelle, uniforme, absolue et normale)
• Séries entières: disque de convergence, développement en série entière des fonctions usuelles, application à la résolution de certaines équations différentielles. 
• Séries trigonométriques, coefficients de Fourier, Séries de Fourier, Théorème de Jordan-Dirichlet, Formule de Bessel-Parseval. 

 
3. Transformation de Fourier

• Espaces L^1 et L^2, transformée de Fourier , transformée de Fourier inverse, propriétés de la transformée de Fourier (dilatation, retard, translation, symétrie), transformée de Fourier et dérivation, formule de Bessel-Parseval, convolution. 

 
4. Algèbre et calcul matriciel.

• Espaces vectoriels et application linéaires: rappels.
• Matrices à coefficients réels (et éventuellement complexes), opérations sur les matrices.
• Déterminant, matrices inversibles. (On insistera sur la vision géométrique du déterminant et des matrices inversibles: le déterminant est une forme volume, les matrices inversibles conservent les parallélogrammes, les parallélépipèdes,...Le calcul du déterminant ne sera présenté qu'en dimension 2 et 3. Les considérations numériques pourront être évoquées pour justifier la nécessité de développer des outils de calcul scientifique performants.)
• Valeurs propres, vecteurs propres, multiplicité des valeurs propres, diagonalisation.
• Application au calcul des puissances d'une matrice et aux exponentielles de matrices. Exemple en mécanique: matrice d'inertie.

 
5. Résolution de systèmes différentiels

• Résolution des systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants par la transformation de Laplace ou en utilisant la notion d'exponentielle de matrice. A ce sujet on introduira rapidement la transformée de Laplace.